단순 수익률은 r_t=P_t/P_{t-1}-1이고 여러 기간 누적은 Π(1+r_t)-1이다. 로그 수익률은 g_t=ln(P_t/P_{t-1})이며 같은 가격계열에서는 합이 ln(P_T/P_0)가 된다. 로그합을 투자자의 백분율 손익으로 보려면 exp(Σg_t)-1로 되돌린다. 가격이 0 이하이면 로그 수익률은 정의되지 않는다.
한 기간의 두 수익률은 같은 가격비에서 나온다
가격이 P_{t-1}에서 P_t로 바뀌면 단순 수익률은 r_t=P_t/P_{t-1}-1이다. 100에서 110이면 0.10, 즉 10%다. 로그 수익률은 g_t=ln(P_t/P_{t-1})이므로 ln(1.1)≈0.09531이다. 작은 변화에서는 가깝지만 같은 숫자는 아니다.
로그 수익률 0.1을 10% 손익이라고 그대로 읽으면 안 된다. 단순 수익률로 바꾸면 exp(0.1)-1≈0.10517, 약 10.52%다. 반대로 단순 수익률 r을 로그값으로 바꾸려면 ln(1+r)을 사용한다.
단순 수익률은 자산가치의 비율을, 로그 수익률은 그 가격비의 로그를 기록한다.
JOBCOIN 해설
단순 수익률은 곱하고 로그 수익률은 더한다
100→110→99 경로의 단순 수익률은 +10%와 -10%다. 두 값을 더하면 0%지만 실제 누적은 (1.10×0.90)-1=-1%다. CFA Institute의 역사적 수익률 자료도 월간 수익률을 연결할 때 각 수익률에 1을 더한 return relative를 곱한 뒤 1을 빼라고 설명한다.
같은 경로의 로그 수익률은 ln(1.1)+ln(0.9)=ln(0.99)≈-0.01005다. 시작과 끝만 사용한 ln(99/100)과 같다. 이 합을 단순 누적으로 바꾸면 exp(-0.01005)-1=-1%가 된다. 로그의 가산성은 단순 손익을 없애는 성질이 아니라 곱을 합으로 표현하는 변환이다.
가격 경로 하나를 두 방식으로 계산하기
다음은 실시간 시장과 무관한 교육용 가격이다. 반올림 전 값을 사용하면 두 방식이 같은 최종 가격비로 돌아오는지 확인할 수 있다.
| 구간 | 단순 수익률 | 로그 수익률 | 누적 확인 |
|---|---|---|---|
| 100→110 | +10.00% | ln(1.10)=0.09531 | 가치 1.10 |
| 110→99 | -10.00% | ln(0.90)=-0.10536 | 가치 0.99 |
| 단순 누적 | 1.10×0.90-1 | 해당 없음 | -1.00% |
| 로그 누적 | 해당 없음 | 합=-0.01005 | exp(합)-1=-1.00% |
로그 수익률이 성립하려면 가격이 양수여야 한다
ln(P_t/P_{t-1})는 두 가격이 모두 양수일 때만 실수 범위에서 정의된다. API 누락을 0으로 채우거나 거래정지 구간에 0 가격을 넣으면 로그 계산이 실패한다. 실제 가격이 없는 상태와 가치가 0이 된 상태를 구분하고, 결측은 결측으로 남긴 뒤 처리 규칙을 명시한다.
선물가격이나 특정 원자재 가격처럼 이론상 또는 실제로 0 이하가 가능한 계열에는 단순한 가격 로그수익률을 그대로 적용할 수 없다. 그런 자료는 가격 차이, 다른 수익률 정의 또는 계약별 손익 산식이 필요하다. 로그를 계산할 수 없다는 이유로 임의의 작은 양수를 더하면 지표의 의미가 바뀐다.
- 가격열의 통화와 조정 여부를 전체 기간에서 고정한다
- 0·음수·결측 가격을 계산 전에 별도 상태로 분류한다
- 단순 수익률은 1+r의 곱으로 누적한다
- 로그 수익률 합은 exp를 사용해 단순 누적으로 환산한다
- 표시 반올림은 누적 계산을 마친 뒤 적용한다
통화 변경과 분배금이 가짜 수익률을 만든다
어제 BTC-USD 가격과 오늘 BTC-KRW 가격을 환율 변환 없이 이어 붙이면 자산 수익률과 원화·달러 환율 변화를 섞는다. 스테이블코인 쌍도 USD와 완전히 같은 통화로 자동 간주하지 않는다. 하나의 price series는 동일한 quote currency와 동일한 시장 정의를 유지해야 한다.
ETF나 총수익지수는 분배금 재투자 여부가 가격지수와 다르다. 단순 종가만 사용하면 분배락을 손실로 볼 수 있다. 토큰 분할, redenomination, 계약 롤오버도 불연속을 만든다. 조정계수를 적용했다면 원시가격과 조정가격을 별도 열로 보존한다.
로그 수익률이 공식 상품 산식에서 쓰이는 사례
CME의 EUR/USD realized volatility futures 문서는 일별 결제가격 P_t에 ln(P_t/P_{t-1})를 적용하고 그 표준편차를 252 기준으로 연율화한다. 이는 로그 수익률이 실제 공식 산식의 입력으로 쓰이는 사례다. 동시에 CME는 결제가격이 없는 날은 계산에 기여하지 않는다고 명시한다.
이 사례를 모든 가상자산 변동성에 그대로 적용하지 않는다. 24시간 거래 자산은 252와 365 중 어떤 연율화 계수를 쓸지, UTC 일 경계를 어디에 둘지 별도 선택이 필요하다. 수익률 종류와 표본 규칙을 함께 공개해야 결과가 재현된다.
어떤 표현을 독자에게 보여 줄 것인가
투자자가 실제로 100을 넣어 99가 된 경로를 설명할 때는 단순 누적 -1%가 직관적이다. 통계 모형이나 여러 구간 합산에서는 로그 수익률이 편리하다. 용도가 다를 뿐 한 방식이 언제나 더 정확하다고 말할 수 없다.
기사나 보고서에는 simple 또는 log, 가격 주기, 통화, 조정 여부, 누적 산식을 적는다. 평균 수익률을 제시한다면 산술평균인지 기하평균인지도 분리한다. 과거 계산 결과는 미래 수익이나 특정 자산의 매수·매도 근거를 보장하지 않는다.
자주 묻는 질문
+10% 뒤 -10%면 원금으로 돌아오나요?
아니다. 1.10×0.90=0.99이므로 누적 단순 수익률은 -1%다.
로그 수익률 0.1은 정확히 10%인가요?
아니다. 단순 수익률로 환산하면 exp(0.1)-1로 약 10.52%다.
가격이 0인 행은 로그 수익률을 0으로 두면 되나요?
안 된다. 로그가 정의되지 않는다. 실제 가치 0인지 결측 대체값인지 먼저 구분하고 처리 규칙을 밝혀야 한다.
